https://blog.yurikale.top/tags/%E7%9F%A9%E9%98%B5/Recent content in 矩阵 on 羽衣甘蓝的博客HugozhFri, 14 Aug 2026 23:24:19 +0800https://blog.yurikale.top/math/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%BC%95%E5%85%A5/Fri, 14 Aug 2026 23:24:19 +0800https://blog.yurikale.top/math/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%BC%95%E5%85%A5/<h2 id="1-从基底的角度看向量">1. 从基底的角度看向量</h2> <p>对于一个向量 $(x, y)$，或者更严谨地， $\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]$ ，在平面中相当于 $x$ 和 $y$ 分别与两个正交基底（标准基）相乘的和： </p> $$ \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right] $$<h2 id="2-线性变换">2. 线性变换</h2> <p>我们不是换基底， 我们做的是：<strong>基底不变（永远是标准基），但把整个向量按某种规则拉伸/旋转</strong>。</p> <p>具体操作是：</p> <ul> <li>标准基 $\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$ 被映射到了新位置 $\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$</li> <li>标准基 $\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$ 被映射到了新位置 $\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]$</li> </ul> <p>那么，原来的向量 $\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]$ 是由 $x$ 个 $\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$ 和 $y$ 个 $\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$ 拼成的。<br> 经过这个变换后，它就变成由 $x$ 个 $\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$ 和 $y$ 个 $\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]$ 拼成的新向量：</p> $$ \left[\begin{array}{c} x' \\y'\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}a \cdot x + c \cdot y \\b \cdot x + d \cdot y \end{array}\right] $$<p>注意我们在这里所做的操作是：把原向量在标准基下的系数 $x$ 和 $y$ 分别和新基底（其实是变换后的基）相乘，得到的向量用 $\left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right]$ 表示。</p>