数学分析

在上一篇笔记中提到了用戴德金连续性公理证明确界原理，然而这节北大的公开课中提到了一种被称为“测量法”的证明方法，可以用直观的实数构造方法证明确界的存在性. 下面我们用下确界来举例，上确界的证明同理. 1. 用尺子量出下确界 想象我们在实数轴上有一把无限精度的尺子，我们要用这个尺子来“量”出下界. 为了简单，我们把需要求下确界的任意有下界非空 $E \subset \mathbb{R}$ 平移到其元素全在正轴上. 然后： 从 $0$ 开始数，$0$ 是下界吗？是；$1$ 是下界吗？是；$2$ 是下界吗？是；… $a_0 + 1$ 是下界吗？不是！ 哦，$a_0$ 是下界，但 $a_0 + 1$ 是不下界. 好的，接下来，我们截取尺子中 $a_0$ ~ $a_0 + 1$ 这一段，放大. 继续数. $a_0.1$ 是下界吗？是；$a_0.2$ 是下界吗？是；… $a_0.a_1$ 是下界吗？是！$a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 是下界吗？不是！ 现在 $a_0.a_1$ 是下界，但 $a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 不是下界了. 不要停，接下来继续截取尺子上 $a_0.a_1$ ~ $a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 的一小段，放大. 从 $a_0.a_11$, $a_0.a_12$, $a_0.a_13$ 一直数，直到找到 $a_0.a_1k$ 不是下界，然后令 $a_2 = k - 1$ 得到小数 $a_0.a_1a_2$ 是该精度下最后一个下界. ...

本文是实数理论中确界原理的完整笔记，包含与戴德金连续性公理的等价性证明. 1. 有界集 $\exists E \subseteq \mathbb{R}$ 上界：不唯一，大于等于集合 $E$ 的最大值的任何数. $$ \exists L \in \mathbb{R}, \quad \text{s.t.} \forall x\in E, \quad x \leq L \iff E 有上界，L 为 E的一个上界。 $$ 下界同理. $$ \exists l \in \mathbb{R}, \quad \text{s.t.} \forall x\in E, \quad x \geq l \iff E 有下界，l 为 E的一个下界。 $$ $E$ 同时拥有上界和下界，称 $E$ 为有界集合： $$ \exists M \gt 0, \quad \text{s.t. } x\in E, \quad \left|x\right|\leq M \iff M \geq \text{max}\{\left| l\right|, \left| L\right|\} $$ 2. 确界 2.1 定义 上下界是不唯一的，确界就是恰好包住集合的上下界，相当于集合的上下边界. ...