数列极限

1. 定义 若对任给的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$\left|a_n-a \right|\lt\varepsilon$，则称数列$\{a_n\}$收敛于$a$记做$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$或$a_n\rightarrow a(n\rightarrow\infty)$ . 2. 证明方法 2.1 例题： $$ 设x_n=\frac n{2n+1}，观察x_n的极限值，并证明之. $$ 判断： $$ \begin{align} &x_n = \frac{1}{2+\frac{1}{n}} \\ &当 n\rightarrow\infty时，\frac{1}{n}\rightarrow0 \\ \therefore &\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = \frac{1}{2} \end{align} $$ 分析 $$ \begin{align} 先计算差值的绝对值： \left|\frac{n}{2n+1} - \frac{1}{2}\right| &=\left| \frac{-1}{4n+2} \right| \\ &=\frac{1}{4n+2} \\ \end{align} $$ $$ \begin{align} 根据定义，这个值必须小于任意给定的正数\varepsilon，即： \end{align} $$ $$ \begin{align} \frac{1}{4n+2}&\lt\varepsilon \\ 解得 n &\gt \frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2} \end{align} $$ $$ \begin{align} 所以取 N = \lfloor\frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}\rfloor + 1 \end{align} $$ 3. 证明 ...