https://blog.yurikale.top/tags/%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%87%BD%E6%95%B0/Recent content in 初等函数 on 羽衣甘蓝的博客HugozhSun, 26 Jul 2026 18:46:52 +0800https://blog.yurikale.top/math/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B0/Sun, 26 Jul 2026 18:46:52 +0800https://blog.yurikale.top/math/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B0/$$\begin{align} &\text{双曲正弦}\quad\mathrm{sh}x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}, &x\in (-\infty, +\infty) \\ &\text{双曲余弦}\quad\mathrm{ch}x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}, &x\in (-\infty, +\infty) \\&\text{双曲正切}\quad\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}, &x\in (-\infty, +\infty) \end{align} $$<h2 id="1-双曲正弦">1. 双曲正弦</h2> $$ \sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, x \in (-\infty, +\infty) $$<ul> <li>正减负</li> <li>奇函数. 单增.</li> <li>当$x$ 的绝对值很大时， <ul> <li>它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$,</li> <li>在第三象限内接近于曲线 $y=-\frac12\mathrm{e}^{-x}$</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="2-双曲余弦">2. 双曲余弦</h2> $$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, x\in(-\infty,+\infty) $$<ul> <li>正加负</li> <li>偶函数. 先递减后递增.</li> <li>当$x$ 的绝对值很大时， <ul> <li>它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$,</li> <li>在第三象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{-x}$</li> </ul> </li> </ul> <h2 id="3-双曲正切">3. 双曲正切</h2> $$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$<ul> <li>跟三角函数一样上正下余.</li> <li>奇函数. 单增.</li> <li>有界：$[-1, 1]$</li> </ul> <h2 id="5-性质">5. 性质</h2> <h3 id="51-分配律">5.1 “分配律”</h3> <ul> <li>对于 $\sinh$ ，类似 $\sin$ ；</li> <li>对于 $cosh$，类似 $\cos$，但是<strong>展开后符号与括号内符号相同</strong>，即和三角函数的<strong>相反</strong>. $$\begin{aligned} &\mathrm{sh}(x+y)=\mathrm{sh}x \times \mathrm{ch}y+\mathrm{ch}x \times \mathrm{sh}y, \\&\mathrm{sh}(x-y)=\mathrm{sh}x\times \mathrm{ch}y-\mathrm{ch}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x+y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y+\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x-y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y-\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y. \end{aligned} $$</li> </ul> <h3 id="52-恒等式">5.2 恒等式</h3> <p>注意到 </p>