双曲函数
$$\begin{align} &\text{双曲正弦}\quad\mathrm{sh}x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}, &x\in (-\infty, +\infty) \\ &\text{双曲余弦}\quad\mathrm{ch}x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}, &x\in (-\infty, +\infty) \\&\text{双曲正切}\quad\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}, &x\in (-\infty, +\infty) \end{align} $$1. 双曲正弦 $$ \sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, x \in (-\infty, +\infty) $$ 正减负 奇函数. 单增. 当$x$ 的绝对值很大时， 它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$, 在第三象限内接近于曲线 $y=-\frac12\mathrm{e}^{-x}$ 2. 双曲余弦 $$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, x\in(-\infty,+\infty) $$ 正加负 偶函数. 先递减后递增. 当$x$ 的绝对值很大时， 它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$, 在第三象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{-x}$ 3. 双曲正切 $$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$ 跟三角函数一样上正下余. 奇函数. 单增. 有界：$[-1, 1]$ 5. 性质 5.1 “分配律” 对于 $\sinh$ ，类似 $\sin$ ； 对于 $cosh$，类似 $\cos$，但是展开后符号与括号内符号相同，即和三角函数的相反. $$\begin{aligned} &\mathrm{sh}(x+y)=\mathrm{sh}x \times \mathrm{ch}y+\mathrm{ch}x \times \mathrm{sh}y, \\&\mathrm{sh}(x-y)=\mathrm{sh}x\times \mathrm{ch}y-\mathrm{ch}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x+y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y+\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x-y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y-\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y. \end{aligned} $$ 5.2 恒等式 注意到 ...