双曲函数

Sun, 26 Jul 2026 18:46:52 +0800

$$\begin{align} &\text{双曲正弦}\quad\mathrm{sh}x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}, &x\in (-\infty, +\infty) \\ &\text{双曲余弦}\quad\mathrm{ch}x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}, &x\in (-\infty, +\infty) \\&\text{双曲正切}\quad\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}, &x\in (-\infty, +\infty) \end{align} $$

1. 双曲正弦

$$ \sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, x \in (-\infty, +\infty) $$

正减负
奇函数. 单增.
当$x$ 的绝对值很大时，
- 它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$,
- 在第三象限内接近于曲线 $y=-\frac12\mathrm{e}^{-x}$

2. 双曲余弦

$$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, x\in(-\infty,+\infty) $$

正加负
偶函数. 先递减后递增.
当$x$ 的绝对值很大时，
- 它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$,
- 在第三象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{-x}$

3. 双曲正切

$$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$

跟三角函数一样上正下余.
奇函数. 单增.
有界：$[-1, 1]$

5. 性质

5.1 “分配律”

对于 $\sinh$ ，类似 $\sin$ ；
对于 $cosh$，类似 $\cos$，但是展开后符号与括号内符号相同，即和三角函数的相反. $$\begin{aligned} &\mathrm{sh}(x+y)=\mathrm{sh}x \times \mathrm{ch}y+\mathrm{ch}x \times \mathrm{sh}y, \\&\mathrm{sh}(x-y)=\mathrm{sh}x\times \mathrm{ch}y-\mathrm{ch}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x+y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y+\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x-y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y-\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y. \end{aligned} $$

5.2 恒等式

注意到

数列极限

Sun, 26 Jul 2026 18:30:00 +0800

1. 定义

若对任给的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$\left|a_n-a \right|\lt\varepsilon$，则称数列$\{a_n\}$收敛于$a$记做$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$或$a_n\rightarrow a(n\rightarrow\infty)$ .

2. 证明方法

2.1 例题：

$$ 设x_n=\frac n{2n+1}，观察x_n的极限值，并证明之. $$

判断： $$ \begin{align} &x_n = \frac{1}{2+\frac{1}{n}} \\ &当 n\rightarrow\infty时，\frac{1}{n}\rightarrow0 \\ \therefore &\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = \frac{1}{2} \end{align} $$
分析 $$ \begin{align} 先计算差值的绝对值： \left|\frac{n}{2n+1} - \frac{1}{2}\right| &=\left| \frac{-1}{4n+2} \right| \\ &=\frac{1}{4n+2} \\ \end{align} $$ $$ \begin{align} 根据定义，这个值必须小于任意给定的正数\varepsilon，即： \end{align} $$

$$ \begin{align} \frac{1}{4n+2}&\lt\varepsilon \\ 解得 n &\gt \frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2} \end{align} $$

$$ \begin{align} 所以取 N = \lfloor\frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}\rfloor + 1 \end{align} $$

3. 证明

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