在上一篇笔记中提到了用戴德金连续性公理证明确界原理，然而这节北大的公开课中提到了一种被称为“测量法”的证明方法，可以用直观的实数构造方法证明确界的存在性. 下面我们用下确界来举例，上确界的证明同理.
1. 用尺子量出下确界
想象我们在实数轴上有一把无限精度的尺子，我们要用这个尺子来“量”出下界.
为了简单，我们把需要求下确界的任意有下界非空 $E \subset \mathbb{R}$ 平移到其元素全在正轴上.
然后：
从 $0$ 开始数，$0$ 是下界吗？是；$1$ 是下界吗？是；$2$ 是下界吗？是；… $a_0 + 1$ 是下界吗？不是！
哦，$a_0$ 是下界，但 $a_0 + 1$ 是不下界. 好的，接下来，我们截取尺子中 $a_0$ ~ $a_0 + 1$ 这一段，放大.
继续数. $a_0.1$ 是下界吗？是；$a_0.2$ 是下界吗？是；… $a_0.a_1$ 是下界吗？是！$a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 是下界吗？不是！
现在 $a_0.a_1$ 是下界，但 $a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 不是下界了. 不要停，接下来继续截取尺子上 $a_0.a_1$ ~ $a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 的一小段，放大.
从 $a_0.a_11$, $a_0.a_12$, $a_0.a_13$ 一直数，直到找到 $a_0.a_1k$ 不是下界，然后令 $a_2 = k - 1$ 得到小数 $a_0.a_1a_2$ 是该精度下最后一个下界.
重复这个过程，我们就得到了一个无限小数：
$$ r = a_0.a_1a_2a_3a_4\cdots $$这个无限小数 $r$，就是我们用这把“尺子”量出的数.
注意到：在构造过程中，我们选定的读数 $a_0.a_1\cdots a_n$ 本身，就是 $E$ 的一个下界；而它加上当前精度 $10^{-n}$ 后，就不再是下界了.
接下来，我们证明它正好是 $E$ 的下确界.
2. 证明所得是规范小数
规范小数的出现，是为了解决实数的一个重要特性：同一个实数，可以有两种不同的小数表示法. 最经典的例子就是：
$$ 1.000\cdots = 0.999\cdots $$更一般地说，任何一个有限小数，都可以写成另一种以无穷多个9结尾的形式. 比如：
$$ \begin{align*} 0.5&=0.4999\cdots \\ 0.13&=0.12999\cdots \end{align*} $$为了排除这种歧义，数学家们约定，在实数的小数表示中，不使用末尾是无穷多个 9 （非规范小数）的形式.
在测量法的构造中，我们是一步一步用十进制小数去卡集合 $E$ 的下确界的. 这个过程中，就藏着产生非规范小数的风险.
如果构造出来的数长成这样：$a_0.a_1a_2\cdots a_p9999\cdots$，即从某一位 $p$ 往后全是 $9$. 那么，根据十进制表示的性质，它实际上就等于另一个更短的有限小数 $a_0.a_1a_2\cdots(a_p+1)$.
这会导致一个严重的问题：我们到底量出了哪个数？
它们的数值虽然相等，但在构造过程中，我们每一步判断“这个读数是下界吗？”时的行为是完全不同的，动摇了测量法构造的严谨性.
所以考虑反证法：
- 假设构造出的数是非规范的，即从某一位后全是 9.
- 利用集合 $E$ 的性质和每一步“读数”的构造规则，推导出矛盾.
- 因此，假设不成立，构造出的数必然是规范小数.
2.1 假设不是规范小数
假设我们的尺子量出的结果 $r$ 是一个非规范小数.
$$ r = a_0.a_1a_2\cdots a_p9999\cdots $$也就是说，从某一位 $a_p$ 往后，所有的数字都是 $9$. 根据十进制数的性质，这个数实际上就等于一个有限小数：
$$ t = a_0.a_1a_2\cdots(a_p+1) $$e.g. 如果 $r = 0.12999\cdots$，那么 $t = 0.13$.
2.2 寻找矛盾
矛盾在于，我们构造 $r$ 的规则，会和 $r = t$ 这个等式发生冲突.
回顾：
在每一步 $n$，我们找到的小数 $L_n = a_0.a_1\cdots a_n$ 是 $E$ 的一个下界；而 $L_n + 10^{-n}$ 不再是 $E$ 的下界.
现在，假设 $r = a_0.a_1\cdots a_p999\cdots = t$，其中 $t$ 是有限小数.
我们考虑这个有限小数 $t$ 的最后一位小数. 假设它精确到 $10^{-p}$ 位（比如 $0.13$ 精确到 $0.01$，即 $10^{-2}$ 位）.
根据构造，在第 $p$ 步时，我们选定的小数是 $L_p = a_0.a_1\cdots a_p$.
因为我们假设 $r$ 后面全是 9，那么在第 $p$ 步时，$r$ 和 $L_p$ 的关系是：
（这里 $t$ 就是把最后一位 $a_p$ 加 1）
即在第 $p$ 步时，我们发现“增加一个最小刻度”后的那个数，恰好等于 $t$，也就是等于最终的 $r$.
现在，我们根据构造规则：
$r$ 是 $E$ 的下界吗？
根据构造规则，是的.在第 $p$ 步，$L_p + 10^{-p} = t = r$ 还是 $E$ 的下界吗？
根据我们刚刚的推导，是的，因为 $r$ 是下界. 所以，$L_p + 10^{-p}$ 也是下界.
但这就和构造规则矛盾了：
在第 $p$ 步，当发现 $L_p$ 是下界后，再增加一个刻度，即 $L_p + 10^{-p}$，就不再是 $E$ 的下界了.
2.3 结论
因此，假设“$r$ 是非规范小数”会导致逻辑矛盾.
所以，假设不成立. 我们通过“测量法”构造出的无限小数 $r$，不可能从某一位开始后面全是 9. 它必然是一个规范小数.
3. 证明所得为下确界
现在，我们已经有了一个规范小数 $ r = a_0.a_1a_2a_3\cdots $，并且知道它是由一系列下界 $ L_n = a_0.a_1\cdots a_n $ 逼近而来的. 接下来，我们证明它正好是集合 $ E $ 的下确界
3.1 证明 $ r $ 是 $ E $ 的一个下界
对于集合 $ E $ 中的任意一个固定的元素 $ x $，回顾我们的构造过程，每一个 $ L_n $ 都是 $ E $ 的下界，因此都有：
$$ L_n \le x $$现在，让 $ n \to \infty $. 因为 $ L_n $ 收敛到 $ r $，所以由极限的保序性，我们必然有：
$$ r \le x $$极限保序？
反设 $ r > x $，则当 $ n $ 足够大时，$ L_n $ 会无限接近 $ r $，从而也会大于 $ x $，这与所有 $ L_n \le x $ 矛盾. 因此 $ r \le x $ 是唯一可能.
由于 $ x $ 是 $ E $ 中任意取的，这就证明了 $ r $ 小于等于 $ E $ 中的所有元素**. 也就是说，$ r $ 是 $ E $ 的一个下界.
3.2 证明 $ r $ 是最大的下界（即下确界）
现在，我们证明任何比 $r$ 大的数都不可能是下界.
任取一个比 $ r $ 大的数，记为 $ r + \varepsilon $，其中 $ \varepsilon > 0 $. 因为尺子的精度可以无限提高，我们可以找到一个足够大的 $ n $，使得：
$$ 10^{-n} < \varepsilon $$回想构造规则：在第 $ n $ 步，我们选定的下界是 $L_n$，并且 $ L_n + 10^{-n} $ 已经不是 $ E $ 的下界了.
现在，我们证明任何比 $ r $ 大的数都不可能是下界.
任取一个比 $ r $ 大的数 $ r + \varepsilon $，其中 $ \varepsilon > 0 $. 因为尺子的精度可以无限提高，我们可以找到一个足够大的 $ n $，使得 $10^{-n}$ 足够小：
$$ 10^{-n} < \varepsilon $$再回想构造规则：
在第 $ n $ 步，我们选定的下界是 $ L_n $，并且 $ L_n + 10^{-n} $ 已经不是 $ E $ 的下界了.
“不是下界”意味着：在集合 $ E $ 中，存在一个元素 $ x $，它比 $ L_n + 10^{-n} $ 还要小，即：
$$ x < L_n + 10^{-n} $$又因为 $ L_n \le r $，所以：
$$ L_n + 10^{-n} \le r + 10^{-n} < r + \varepsilon $$把这两个不等式联立，我们就找到了一个 $ E $ 中的元素 $ x $，满足：
$$ x < r + \varepsilon $$即，任何比 $ r $ 大的数 $ r + \varepsilon $ 都无法成为 $ E $ 的下界.
再次解释思路 我们把任意一个比 $r$ 大的数记作 $ r + \varepsilon $（其中 $ \varepsilon > 0 $）. 这个证明就是要说明，无论 $\varepsilon$ 多小，$r + \varepsilon $ 都没有资格当下界.
3.3 结论
综合 3.1 和 3.2 的证明：
- $ r $ 是 $ E $ 的下界；
- 任何比 $ r $ 大的数都不是 $ E $ 的下界.
由下确界的定义，$ r $ 就是集合 ( E ) 的下确界，即：
$$ r = \inf E $$这就证明的下确界的存在性.
4. 关于平移
如果原集合 $E$ 的下界是 $m$，我们实际上测量的是平移后的集合 $E' = \{ x - m \mid x \in E \} $（因为我们从 $0$ 开始数到 $a_0$）. 若测得 $\inf E' = r'$，则原集合的下确界为 $\inf E = r' + m $. 因此，证明中的“平移”不损失一般性.