1. 有界集

$\exists E \subseteq \mathbb{R}$

  • 上界：不唯一，大于等于集合 $E$ 的最大值的任何数. $$ \exists L \in \mathbb{R}, \quad \text{s.t.} \forall x\in E, \quad x \leq L \iff E 有上界，L 为 E的一个上界。 $$
  • 下界同理. $$ \exists l \in \mathbb{R}, \quad \text{s.t.} \forall x\in E, \quad x \geq l \iff E 有下界，l 为 E的一个下界。 $$ $E$ 同时拥有上界和下界，称 $E$ 为有界集合： $$ \exists M \gt 0, \quad \text{s.t. } x\in E, \quad \left|x\right|\leq M \iff M \geq \text{max}\{\left| l\right|, \left| L\right|\} $$

2. 确界

2.1 定义

上下界是不唯一的，确界就是恰好包住集合的上下界，相当于集合的上下边界.

  • 上确界：上界中的最小值，或者称为上界集的最小元. 注意，上确界不一定存在于 $E$ 中； $\text{e.g. } [0,1) 有上确界 1$. 定义： $$ \begin{align*} &E \subseteq \mathbb{R}, \quad E \neq \varnothing \\ &M 满足 (i), (ii)，则M是E的上确界：\\ &(i) M是E的一个上界 \iff \forall x \in E, x\leq M \\ &(ii) M 是 E 的最小上界 \iff \forall M' \lt M, \exists x \in E, x \gt M' \end{align*} $$
  • 下确界同理。

2.2 唯一性：

证明：

$$ M_1, M_2 为上确界，则 M_1 \geq M_2 且 M_2 \geq M_1 \iff M_1 = M_2 \iff M 是唯一的. $$

2.3 存在性

非空有上界的实数集必有上确界. （下确界同理） 证明：

补充 1： 戴德金连续性公理：实数没有缝隙，是连续的.（不等于稠密性，例如无理数集是稠密的，但其并不连续.） 可以表述为：把 $\mathbb{R}$ 分成两个非空集合 $A$, $B$，且 $A$ 中所有元素都小于 $B$ 中的，那么要么 $A$ 有最大值，要么 $B$ 有最小值，或者说分割点要么在 $A$ 中要么在 $B$ 中，即分割点也在实数里.

补充 2： 戴德金分割：记为 $(A, B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割，表示给 $\mathbb{R}$ 切一刀分成 $A$, $B$，$A \cup B = \mathbb{R}$，其中 $A$ 中所有元素小于 $B$ 中的. 更为严谨的定义是： 对于任意实数 $r$，定义 $A = \{x \in \mathbb{R} | x \lt r \}$, $B = \{x\in\mathbb{R} | x \geq r \}$，那么 $(A, B)$ 就是 $\mathbb{R}$ 的一个分割，其中 $r$ 是分割点，这里$r \in B$.（其实也可以属于 $A$，总之在两个之中）

设 $E \subset \mathbb{R}$ 有上界 $M$，$E\neq \varnothing$. 设 $B$ 为 $E$ 的上界集， $\therefore B\neq \varnothing$ 再令 $A = \mathbb{R} - B$ （也可以记为 $A = \mathbb{R} \textbackslash B$ 或 $A = \text{C}_\mathbb{R} B$），$\therefore A \neq \varnothing$ 且 $(A, B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割。 由戴德金连续性公理知，$\exists 唯一的 r$，是的对任何的 $a \in A$ 和 $b \in B$，都有：

$$ a \leq r \leq b. \qquad (1) $$

下证 $r$ 为 $E$ 的上界. 若其不是上界，则 $\exists r_0 \in E$，使得 $r < r_0$， 于是有：

$$ r\lt \frac{r + r_0}{2} \lt r_0 \qquad (2) $$

由 $A = \mathbb{R} - B$ 的定义，$\frac{r + r_0}{2}$ 不是 $E$ 的上界（因为它比 $E$ 中的一个元素 $r_0$ 小），则 $\frac{r + r_0}{2} \in A$. 由 $(1)$ 有，$\frac{r + r_0}{2} \leq r$，与 $(2)$ 矛盾. 因此 $r$ 为 $E$ 上界，即有 $r \in B$. （因为 $B$ 是 $E$ 的上界集） 因为 $r \in B$，且由 $(1)$ 知 $\forall b \in B$，$\exists r \leq b$，所以 $r$ 为 $B$ 中的最小元，即 $r$ 为 $E$ 的上确界.

2.4 记 号：

对于 $E$，

  • 上确界：$\text{sup}E$
  • 下确界：$\text{inf}E$