确界原理

本文是实数理论中确界原理的完整笔记，包含与戴德金连续性公理的等价性证明.

1. 有界集

$\exists E \subseteq \mathbb{R}$

• 上界：不唯一，大于等于集合 $E$ 的最大值的任何数. $$ \exists L \in \mathbb{R}, \quad \text{s.t.} \forall x\in E, \quad x \leq L \iff E 有上界，L 为 E的一个上界。 $$
• 下界同理. $$ \exists l \in \mathbb{R}, \quad \text{s.t.} \forall x\in E, \quad x \geq l \iff E 有下界，l 为 E的一个下界。 $$ $E$ 同时拥有上界和下界，称 $E$ 为有界集合： $$ \exists M \gt 0, \quad \text{s.t. } x\in E, \quad \left|x\right|\leq M \iff M \geq \text{max}\{\left| l\right|, \left| L\right|\} $$

2. 确界

2.1 定义

上下界是不唯一的，确界就是恰好包住集合的上下界，相当于集合的上下边界.

• 上确界：上界中的最小值，或者称为上界集的最小元. 注意，上确界不一定存在于 $E$ 中； $\text{e.g. } [0,1) 有上确界 1$. 定义： $$ \begin{align*} &E \subseteq \mathbb{R}, \quad E \neq \varnothing \\ &M 满足 (i), (ii)，则M是E的上确界：\\ &(i) M是E的一个上界 \iff \forall x \in E, x\leq M \\ &(ii) M 是 E 的最小上界 \iff \forall M' \lt M, \exists x \in E, x \gt M' \end{align*} $$
• 下确界同理。

2.2 唯一性：

证明：

$$ M_1, M_2 为上确界，则 M_1 \geq M_2 且 M_2 \geq M_1 \iff M_1 = M_2 \iff M 是唯一的. $$

2.3 存在性

非空有上界的实数集必有上确界. （下确界同理） 证明：

补充 1： 戴德金连续性公理：实数没有缝隙，是连续的.（不等于稠密性，例如无理数集是稠密的，但其并不连续.）
可以表述为：把 $\mathbb{R}$ 分成两个非空集合 $A$, $B$，且 $A$ 中所有元素都小于 $B$ 中的，那么要么 $A$ 有最大值，要么 $B$ 有最小值，或者说分割点要么在 $A$ 中要么在 $B$ 中，即分割点也在实数里.

补充 2： 戴德金分割：记为 $(A, B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割，表示给 $\mathbb{R}$ 切一刀分成 $A$, $B$，$A \cup B = \mathbb{R}$，其中 $A$ 中所有元素小于 $B$ 中的，刀口要么在 $A$ 要么在 $B$.
更为严谨的定义是：
对于任意实数 $r$，定义 $A = \{x \in \mathbb{R} | x \lt r \}$, $B = \{x\in\mathbb{R} | x \geq r \}$，那么 $(A, B)$ 就是 $\mathbb{R}$ 的一个分割，其中 $r$ 是分割点，这里$r \in B$.（其实也可以属于 $A$，总之在两个之中）

设 $E \subset \mathbb{R}$ 有上界 $M$，$E\neq \varnothing$. 设 $B$ 为 $E$ 的上界集， $\therefore B\neq \varnothing$
再令 $A = \mathbb{R} - B$ （也可以记为 $A = \mathbb{R} \backslash B$ 或 $A = \text{C}_\mathbb{R} B$），$\therefore A \neq \varnothing$ 且 $(A, B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割。
由戴德金连续性公理知，$\exists 唯一的 r$，使得对任何的 $a \in A$ 和 $b \in B$，都有：

$$ a \leq r \leq b. \qquad (1) $$

下证 $r$ 为 $E$ 的上界. 若其不是上界，则 $\exists r_0 \in E$，使得 $r < r_0$， 于是有：

$$ r\lt \frac{r + r_0}{2} \lt r_0 \qquad (2) $$

由 $A = \mathbb{R} - B$ 的定义，$\dfrac{r + r_0}{2}$ 不是 $E$ 的上界（因为它比 $E$ 中的一个元素 $r_0$ 小），则 $\dfrac{r + r_0}{2} \in A$.
由 $(1)$ 有，$\dfrac{r + r_0}{2} \leq r$，与 $(2)$ 矛盾. 因此 $r$ 为 $E$ 上界，即有 $r \in B$. （因为 $B$ 是 $E$ 的上界集） 因为 $r \in B$，且由 $(1)$ 知 $\forall b \in B$，$\exists r \leq b$，所以 $r$ 为 $B$ 中的最小元，即 $r$ 为 $E$ 的上确界.

2.4 用确界存在性公理证明戴德金连续性公理

可以反过来把确界存在性定理当成公理，去证明戴德金连续性公理.

再次给出戴德金连续性公理的一种表述：对 $\mathbb{R}$ 的任意分割 $(A, B)$，分界点一定存在，而且它要么属于 $A$（作为最大值），要么属于 $B$（作为最小值）.

为什么这个表述可以说明实数是连续的？因为无论你如何分割，分割点一定存在，且要么在左边，要么在右边，而不可能切到一个缝隙上（此时，分割点不属于 $A$，也不属于 $B$，因为它不存在于 $\mathbb{R}$）.
比如分割有理数 $\mathbb{Q}$，分割点有可能落在是无理数上，此时分割点不属于 $A$，也不属于 $B$.
任何一个缝隙，它的本质特征是：如果你把数轴分成“小于它”和“大于它”的两部分，这两部分都摸不到它.

所以，证明这个公理，需要：

1. 证明分界点存在且唯一 （-> 用确界找）
2. 证明这个分界点一定被某一侧包含

证明：

设 $(A,B)$ 为 $\mathbb{R}$ 的任一分割，由存在性公理知 $A$ 上有上确界 $r$．按定义知于任何 $a\in A$，都有 $a\leq r$．
又按分割定义知于任何 $b\in B$，$b$ 都是 $A$ 的上界，从而 $r\leq b$．
[反证，证唯一性] 若还有$r_0\in \mathbb{R}$，$r_0\ne r$，使对任何 $a\in A$ 和 $b\in B$，都有 $a\leq r_0\leq b$．（注意，这个条件对 $r_0$ 的要求，跟对 $r$ 的要求没有任何区别.）由对称性，不妨设 $r \lt r_0$（大于的情况同理），于是

$$ r \lt \frac{r+r_0}{2} \lt r_0 $$

因为 $r$ 已经是 $A$ 的上确界了，而 $r<\dfrac{r+r_0}{2}$，因此 $\dfrac{r+r_0}{2}\in \mathbb{R}$ 不能属于 $A$；由反证假设， $\forall b\in B$，都有 $r_0\leq b$，而 $\dfrac{r+r_0}{2} < r_0$，因此 $\dfrac{r+r_0}{2}\in \mathbb{R}$ 也不能属于 $B$.
分割的定义告诉我们：$A\cup B=\mathbb{R}$，任何一个实数要么属于 $A$，要么属于 $B$. 矛盾，所以满足条件的分界点 $r$ 是唯一的.

那么第二条 “证明这个分界点一定被某一侧包含” 在哪？在 “ $a\leq r\leq b$”. 因为既然 $r$ 存在，且 $r$ 是实数，那么根据分割的定义，它必然要么在 $A$ 里，要么在 $B$ 里.

疑问：“根据分割的定义”不是循环论证吗？任何一个实数要么属于 $A$，要么属于 $B$ 不是基于实数的连续性吗？

然而：它根本不是一条性质，它只是一个命名规则. 分割的定义是一个“人为约定”，不是“自然真理”. 当写下“ $(A, B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割”时，只是相当于做了一个二分的操作：“先把 $\mathbb{R}$ 里的所有数按照某种规则装进两个篮子里，其中一个篮子叫 $A$，另一个叫 $B$。约定：$\mathbb{R}$ 里的每一个数，都必须被装进其中一个篮子，不能漏掉.”

例如可以分割偶数集，做到一个元素要么在 $A$，要么在 $B$，与偶数集是否是连续的无关.

2.5 记号：

对于 $E$，

• 上确界：$\text{sup}E$
• 下确界：$\text{inf}E$