1. 从基底的角度看向量

对于一个向量 $(x, y)$，或者更严谨地， $\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]$ ，在平面中相当于 $x$ 和 $y$ 分别与两个正交基底（标准基）相乘的和：

$$ \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right] $$

2. 线性变换

我们不是换基底， 我们做的是：基底不变（永远是标准基），但把整个向量按某种规则拉伸/旋转。

具体操作是：

  • 标准基 $\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$ 被映射到了新位置 $\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$
  • 标准基 $\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$ 被映射到了新位置 $\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]$

那么，原来的向量 $\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]$ 是由 $x$ 个 $\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$ 和 $y$ 个 $\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$ 拼成的。
经过这个变换后，它就变成由 $x$ 个 $\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$ 和 $y$ 个 $\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]$ 拼成的新向量：

$$ \left[\begin{array}{c} x' \\y'\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}a \cdot x + c \cdot y \\b \cdot x + d \cdot y \end{array}\right] $$

注意我们在这里所做的操作是：把原向量在标准基下的系数 $x$ 和 $y$ 分别和新基底（其实是变换后的基）相乘，得到的向量用 $\left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right]$ 表示。

这里的 $x'$ 和 $y'$ 表示的是：

$$ \left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right] = x' \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] + y' \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right] $$

（注意：这里依旧是标准基，不是新基底！）

也就是说，$x'$ 和 $y'$ 是新向量在**原坐标系（标准基）**下的坐标。

3. 把这个变换记为一个矩阵

我们称原向量经过了一次变换变成了新向量：

$$ \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right] \stackrel{变换}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right] $$

我们把这个变换记为一个矩阵 $\left[\begin{array}{cc}a & c \\b & d\end{array}\right]$，并且矩阵写在向量左边：

$$ \left[\begin{array}{cc}a & c \\b & d\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}x' \\y' \end{array}\right] $$

4. 总结

因此，我们有：

$$ \left[\begin{array}{cc}a & c \\b & d\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}a \cdot x + c \cdot y \\b \cdot x + d \cdot y \end{array}\right] $$

5. 防混淆

这里的矩阵 $\left[\begin{array}{cc}a & c \\b & d\end{array}\right]$ 叫做线性变换矩阵。 它的第一列 $\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$ 是原 $\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$ 基映射后的位置。它的第二列 $\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]$ 是原 $\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$ 基映射后的位置。

我们始终待在标准基里，没有换坐标系。所以 $x'$ 和 $y'$ 是新向量在标准基下的坐标，不是“投影”什么的，直接叫坐标就好。