1. 定义
若对任给的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$\left|a_n-a \right|\lt\varepsilon$，则称数列$\{a_n\}$收敛于$a$记做$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$或$a_n\rightarrow a(n\rightarrow\infty)$ .
2. 证明方法
2.1 例题：
$$ 设x_n=\frac n{2n+1}，观察x_n的极限值，并证明之. $$- 判断： $$ \begin{align} &x_n = \frac{1}{2+\frac{1}{n}} \\ &当 n\rightarrow\infty时，\frac{1}{n}\rightarrow0 \\ \therefore &\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = \frac{1}{2} \end{align} $$
- 分析 $$ \begin{align} 先计算差值的绝对值： \left|\frac{n}{2n+1} - \frac{1}{2}\right| &=\left| \frac{-1}{4n+2} \right| \\ &=\frac{1}{4n+2} \\ \end{align} $$ $$ \begin{align} 根据定义，这个值必须小于任意给定的正数\varepsilon，即： \end{align} $$
3. 证明
$$ 对任意给定的\varepsilon\gt0，取 $$$$ N = \lfloor\frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}\rfloor + 1 $$$$ \begin{align} 则当 n \gt N 时，有： \end{align} $$$$ \begin{align} n > \lfloor\frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}\rfloor+1\\ \Rightarrow \frac{1}{4n+2} \lt \frac{1}{4N+2} \\ \because N > \frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2} \\ \therefore \frac{1}{4N+2} \lt \varepsilon \\ 即 \left|x_n-\frac{1}{2}\right|\lt\varepsilon \end{align} $$2.2 步骤
总结
- 猜出极限 $a$，并化简 $f(n) = |a_n - a|$.
- 解不等式 $f(n) < \varepsilon$，得到 $n > g(\varepsilon)$（如果容易解出）。
- 取 $N = \lfloor g(\varepsilon) \rfloor + 1$（或任何满足 $N \ge g(\varepsilon)$ 的正整数，如 $N = \lceil g(\varepsilon) \rceil$，注意若 $g(\varepsilon)\le0$ 则取 $N=1$）。
- 当 $n>N$ 时，由于$n > N \ge g(\varepsilon)$，所以 $f(n) < \varepsilon$，即 $|a_n-a|<\varepsilon$。
如果 $f(n) < \varepsilon$ 不能显式解出，可以用放缩法，找到一个更简单且单调的上界，再解不等式。
2.3 原理
任意给定一个正数，这意味着无论提多苛刻的要求，比如 $ε$=0.000001，$ε$=0.000001，我都必须接招。
我必须根据你给的 $ε$，找到一个临界序号 $N$。
只要 $n$ 跨过这个 $N$，后面的所有项都必须无条件满足条件。
3. 向下取整和向上取整
- 向下取整：$\lfloor x \rfloor$ ：往小的方向取整. $\lfloor x \rfloor \le x$. $$ \lfloor x \rfloor = n \Longleftrightarrow n\le x\lt n + 1 $$
- 向上取整：$\lceil x \rceil$ ：往大的方向取整. $\lceil x \rceil \ge x$. $$ \lceil x \rceil = n \Longleftrightarrow n-1\lt x\le n $$ 两种取$N$的方法：
- 精确法： $$ N = \lfloor解出的式子\rfloor + 1 $$
- 宽松法： $$ N = \lceil 一个更大的式子\rceil $$