1. 双曲正弦
$$ \sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, x \in (-\infty, +\infty) $$- 正减负
- 奇函数. 单增.
- 当$x$ 的绝对值很大时，
- 它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$,
- 在第三象限内接近于曲线 $y=-\frac12\mathrm{e}^{-x}$
2. 双曲余弦
$$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, x\in(-\infty,+\infty) $$- 正加负
- 偶函数. 先递减后递增.
- 当$x$ 的绝对值很大时，
- 它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$,
- 在第三象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{-x}$
3. 双曲正切
$$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$- 跟三角函数一样上正下余.
- 奇函数. 单增.
- 有界：$[-1, 1]$
5. 性质
5.1 “分配律”
- 对于 $\sinh$ ，类似 $\sin$ ；
- 对于 $cosh$，类似 $\cos$，但是展开后符号与括号内符号相同，即和三角函数的相反. $$\begin{aligned} &\mathrm{sh}(x+y)=\mathrm{sh}x \times \mathrm{ch}y+\mathrm{ch}x \times \mathrm{sh}y, \\&\mathrm{sh}(x-y)=\mathrm{sh}x\times \mathrm{ch}y-\mathrm{ch}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x+y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y+\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x-y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y-\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y. \end{aligned} $$
5.2 恒等式
注意到
$$ \cosh 0 = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = 1 $$于是
$$ \begin{align} \cosh{(x-x)} &= 1 \\& = \cosh^2 x - \cosh^2 y \end{align} $$5.3 二倍双曲正弦
双曲正弦类似二倍角公式：
$$ \sinh{(x+x)} = 2 \sinh x \cosh x $$双曲余弦类似二倍角公式，但是符号和二倍角公式相反：
$$ \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$6. 反双曲函数
6.1 求反函数
求解析式思路：换元$e^y$，对$x$求根，再求对数。示例：
$$ \begin{align} x &= \sinh y \\ &= \frac{e^y - e^{-y}}{2} \\ \\ 2x &=e^y - e^{-y} \\ &=e^y - \frac{1}{e^y} \end{align} $$令 $u = e^y$，对 $u$ 求根：
$$ \begin{aligned} 2x &= u - \frac{1}{u} \\ u^2 - 2ux - 1 &= 0 \\ u &= \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 + 4}}{2} ,& 其中u=e^y>0 \\ &= x+\sqrt{x^2+1} \end{aligned} $$对$u$取对数：
$$ y = \ln u = \ln(x+\sqrt{x^2+1}) = \text{arsh} x $$6.2 解析式
$$ \begin{aligned} &\text{arsh} x = \ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\ &\text{arch} x = \ln(x+\sqrt{x^2-1}) \\ &\text{arth} x = \frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}} \end{aligned} $$注意，$y = \text{arch} x$ 是由 $y = \cosh x$ 的 $x > 0$ 部分得到的。
7. 杂记
暂无。