数学笔记

1. 从基底的角度看向量 对于一个向量 $(x, y)$，或者更严谨地， $\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]$ ，在平面中相当于 $x$ 和 $y$ 分别与两个正交基底（标准基）相乘的和： $$ \left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right] $$2. 线性变换 我们不是换基底， 我们做的是：基底不变（永远是标准基），但把整个向量按某种规则拉伸/旋转。 具体操作是： 标准基 $\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$ 被映射到了新位置 $\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$ 标准基 $\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$ 被映射到了新位置 $\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]$ 那么，原来的向量 $\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]$ 是由 $x$ 个 $\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$ 和 $y$ 个 $\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$ 拼成的。 经过这个变换后，它就变成由 $x$ 个 $\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$ 和 $y$ 个 $\left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right]$ 拼成的新向量： $$ \left[\begin{array}{c} x' \\y'\end{array}\right] = x \left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right] + y \left[\begin{array}{c}c\\d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}a \cdot x + c \cdot y \\b \cdot x + d \cdot y \end{array}\right] $$注意我们在这里所做的操作是：把原向量在标准基下的系数 $x$ 和 $y$ 分别和新基底（其实是变换后的基）相乘，得到的向量用 $\left[\begin{array}{c}x' \\y'\end{array}\right]$ 表示。 ...

在上一篇笔记中提到了用戴德金连续性公理证明确界原理，然而这节北大的公开课中提到了一种被称为“测量法”的证明方法，可以用直观的实数构造方法证明确界的存在性. 下面我们用下确界来举例，上确界的证明同理. 1. 用尺子量出下确界 想象我们在实数轴上有一把无限精度的尺子，我们要用这个尺子来“量”出下界. 为了简单，我们把需要求下确界的任意有下界非空 $E \subset \mathbb{R}$ 平移到其元素全在正轴上. 然后： 从 $0$ 开始数，$0$ 是下界吗？是；$1$ 是下界吗？是；$2$ 是下界吗？是；… $a_0 + 1$ 是下界吗？不是！ 哦，$a_0$ 是下界，但 $a_0 + 1$ 是不下界. 好的，接下来，我们截取尺子中 $a_0$ ~ $a_0 + 1$ 这一段，放大. 继续数. $a_0.1$ 是下界吗？是；$a_0.2$ 是下界吗？是；… $a_0.a_1$ 是下界吗？是！$a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 是下界吗？不是！ 现在 $a_0.a_1$ 是下界，但 $a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 不是下界了. 不要停，接下来继续截取尺子上 $a_0.a_1$ ~ $a_0.a_1 + \frac{1}{10}$ 的一小段，放大. 从 $a_0.a_11$, $a_0.a_12$, $a_0.a_13$ 一直数，直到找到 $a_0.a_1k$ 不是下界，然后令 $a_2 = k - 1$ 得到小数 $a_0.a_1a_2$ 是该精度下最后一个下界. ...

本文是实数理论中确界原理的完整笔记，包含与戴德金连续性公理的等价性证明. 1. 有界集 $\exists E \subseteq \mathbb{R}$ 上界：不唯一，大于等于集合 $E$ 的最大值的任何数. $$ \exists L \in \mathbb{R}, \quad \text{s.t.} \forall x\in E, \quad x \leq L \iff E 有上界，L 为 E的一个上界。 $$ 下界同理. $$ \exists l \in \mathbb{R}, \quad \text{s.t.} \forall x\in E, \quad x \geq l \iff E 有下界，l 为 E的一个下界。 $$ $E$ 同时拥有上界和下界，称 $E$ 为有界集合： $$ \exists M \gt 0, \quad \text{s.t. } x\in E, \quad \left|x\right|\leq M \iff M \geq \text{max}\{\left| l\right|, \left| L\right|\} $$ 2. 确界 2.1 定义 上下界是不唯一的，确界就是恰好包住集合的上下界，相当于集合的上下边界. ...

$$\begin{aligned} &\text{双曲正弦}\quad\mathrm{sh}x=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}, &x\in (-\infty, +\infty) \\ &\text{双曲余弦}\quad\mathrm{ch}x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}, &x\in (-\infty, +\infty) \\&\text{双曲正切}\quad\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}, &x\in (-\infty, +\infty) \end{aligned} $$1. 双曲正弦 $$ \sinh{x} = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, x \in (-\infty, +\infty) $$ 正减负 奇函数. 单增. 当$x$ 的绝对值很大时， 它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$, 在第三象限内接近于曲线 $y=-\frac12\mathrm{e}^{-x}$ 2. 双曲余弦 $$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, x\in(-\infty,+\infty) $$ 正加负 偶函数. 先递减后递增. 当$x$ 的绝对值很大时， 它的图形在第一象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{x}$, 在第三象限内接近于曲线 $y=\frac12\mathrm{e}^{-x}$ 3. 双曲正切 $$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$ 跟三角函数一样上正下余. 奇函数. 单增. 有界：$[-1, 1]$ 5. 性质 5.1 “分配律” 对于 $\sinh$ ，类似 $\sin$ ； 对于 $cosh$，类似 $\cos$，但是展开后符号与括号内符号相同，即和三角函数的相反. $$\begin{aligned} &\mathrm{sh}(x+y)=\mathrm{sh}x \times \mathrm{ch}y+\mathrm{ch}x \times \mathrm{sh}y, \\&\mathrm{sh}(x-y)=\mathrm{sh}x\times \mathrm{ch}y-\mathrm{ch}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x+y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y+\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y, \\&\mathrm{ch}(x-y)=\mathrm{ch}x\times\mathrm{ch}y-\mathrm{sh}x\times\mathrm{sh}y. \end{aligned} $$ 5.2 恒等式 注意到 ...

1. 定义 若对任给的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$\left|a_n-a \right|\lt\varepsilon$，则称数列$\{a_n\}$收敛于$a$记做$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$或$a_n\rightarrow a(n\rightarrow\infty)$ . 2. 证明方法 2.1 例题： $$ 设x_n=\frac n{2n+1}，观察x_n的极限值，并证明之. $$ 判断： $$ \begin{aligned} &x_n = \frac{1}{2+\frac{1}{n}} \\ &当 n\rightarrow\infty时，\frac{1}{n}\rightarrow0 \\ \therefore &\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = \frac{1}{2} \end{aligned} $$ 分析 $$ \begin{aligned} 先计算差值的绝对值： \left|\frac{n}{2n+1} - \frac{1}{2}\right| &=\left| \frac{-1}{4n+2} \right| \\ &=\frac{1}{4n+2} \\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} 根据定义，这个值必须小于任意给定的正数\varepsilon，即： \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} \frac{1}{4n+2}&\lt\varepsilon \\ 解得 n &\gt \frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} 所以取 N = \lfloor\frac{1}{4\varepsilon}-\frac{1}{2}\rfloor + 1 \end{aligned} $$ 3. 证明 ...